目录

  1. <complex> 头文件简介
  2. std::complex 的基本操作
  3. 访问复数的实部和虚部
  4. 复数的基本运算
  5. 复数的数学函数
  6. 复数的输入输出
  7. std::complex 与 std::vector 结合使用
  8. 典型应用场景
  9. 结论

1. <complex> 头文件简介

在 C++ 中，复数通过 std::complex<T> 来表示，其中 T 代表浮点数类型，常见的类型包括：

  • std::complex<float>：单精度复数
  • std::complex<double>（默认类型）：双精度复数
  • std::complex<long double>：扩展精度复数

要使用 <complex>，需要包含头文件：

#include <complex>
#include <iostream>

2. std::complex 的基本操作

2.1 创建复数对象

可以通过以下方式创建 std::complex 对象：

#include <iostream>
#include <complex>

int main() {
    std::complex<double> c1(3.0, 4.0);  // 3 + 4i
    std::complex<double> c2 = 5.0;      // 5 + 0i

    std::cout << "c1: " << c1 << std::endl;
    std::cout << "c2: " << c2 << std::endl;
    return 0;
}

输出：

c1: (3,4)
c2: (5,0)

说明：

  • std::complex<T>(real, imag)：指定实部和虚部。
  • std::complex<T>(real)：只传递实部，默认虚部为 0。

3. 访问复数的实部和虚部

可以使用 real() 和 imag() 访问复数的实部和虚部：

std::complex<double> c(3.0, 4.0);
std::cout << "Real part: " << c.real() << std::endl; // 3.0
std::cout << "Imaginary part: " << c.imag() << std::endl; // 4.0

4. 复数的基本运算

4.1 复数的四则运算

C++ 允许对 std::complex 对象进行加、减、乘、除等运算：

std::complex<double> c1(3.0, 4.0);
std::complex<double> c2(1.0, 2.0);

std::complex<double> sum = c1 + c2;  // 复数加法
std::complex<double> diff = c1 - c2; // 复数减法
std::complex<double> prod = c1 * c2; // 复数乘法
std::complex<double> quot = c1 / c2; // 复数除法

std::cout << "Sum: " << sum << std::endl;
std::cout << "Difference: " << diff << std::endl;
std::cout << "Product: " << prod << std::endl;
std::cout << "Quotient: " << quot << std::endl;

5. 复数的数学函数

5.1 计算复数的模（Magnitude）和幅角（Phase）

C++ 提供了 std::abs() 和 std::arg() 计算复数的模和幅角：

std::complex<double> c(3.0, 4.0);
std::cout << "Magnitude: " << std::abs(c) << std::endl; // 5.0
std::cout << "Phase: " << std::arg(c) << std::endl; // 0.927295

说明：

  • std::abs(c) 计算复数的模，即 sqrt(real² + imag²)
  • std::arg(c) 计算复数的幅角（弧度）

5.2 计算复共轭

使用 std::conj() 计算复数的共轭：

std::complex<double> c(3.0, 4.0);
std::cout << "Conjugate: " << std::conj(c) << std::endl; // (3,-4)

5.3 计算极坐标转换

  • std::polar(r, θ) 通过模 r 和相角 θ 创建复数：
std::complex<double> c = std::polar(5.0, 0.927295);
std::cout << "Polar form: " << c << std::endl; // (3,4)

5.4 复数的指数、对数和幂运算

C++ 提供了多个数学函数：

std::complex<double> c(1.0, 1.0);

std::cout << "Exp: " << std::exp(c) << std::endl;
std::cout << "Log: " << std::log(c) << std::endl;
std::cout << "Pow: " << std::pow(c, 2.0) << std::endl;

5.5 复数的三角函数

C++ 还支持 std::sin()、std::cos()、std::tan() 及其反函数：

std::complex<double> c(1.0, 1.0);

std::cout << "Sin: " << std::sin(c) << std::endl;
std::cout << "Cos: " << std::cos(c) << std::endl;
std::cout << "Tan: " << std::tan(c) << std::endl;

6. 复数的输入输出

标准库支持直接使用 std::cin 和 std::cout 进行输入输出：

std::complex<double> c;
std::cout << "Enter a complex number (format: real imag): ";
std::cin >> c;
std::cout << "You entered: " << c << std::endl;

输入示例：

Enter a complex number (format: real imag): 2 3
You entered: (2,3)

7. std::complex 与 std::vector 结合使用

可以将 std::complex 存储到 std::vector 里，以便处理复数数组：

#include <vector>
#include <complex>

std::vector<std::complex<double>> v = {
    {1.0, 2.0},
    {3.0, 4.0},
    {5.0, 6.0}
};

for (const auto& c : v) {
    std::cout << c << std::endl;
}

8. 典型应用场景

  • 傅里叶变换（FFT）：在信号处理中，复数用于频谱分析和变换计算。
  • 电路分析：在交流电路计算中，阻抗通常表示为复数。
  • 量子计算：复数广泛应用于量子态计算和模拟。

9. 结论

C++ 标准库的 <complex> 头文件提供了强大的复数计算能力，支持基础运算、数学函数以及极坐标转换。掌握 std::complex 的用法，有助于高效处理数学建模、信号分析等问题。

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