📌 目录

  1. scipy.linalg 模块简介
  2. 矩阵运算：矩阵乘法、逆矩阵与转置
  3. 特征值与特征向量：eig 和 eigvals
  4. 奇异值分解（SVD）：svd
  5. 解线性方程组
  6. 计算行列式与矩阵范数
  7. 示例：奇异值分解与图像压缩
  8. 出站链接与参考资料

1. scipy.linalg 模块简介

scipy.linalg 提供了多种线性代数运算，功能丰富，涵盖了矩阵操作、求解线性方程组、特征值分解、奇异值分解等常用算法。它是 SciPy 提供的线性代数库，除了包含 numpy.linalg 中的功能外，还提供了更多的高级操作和优化。

2. 矩阵运算：矩阵乘法、逆矩阵与转置

矩阵乘法

import numpy as np
from scipy.linalg import blas

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 使用 NumPy 或 SciPy 进行矩阵乘法
result = np.dot(A, B)  # 或者 使用 scipy.linalg.blas.dgemm
print(result)

逆矩阵

from scipy.linalg import inv

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 求逆矩阵
A_inv = inv(A)
print(A_inv)

矩阵转置

# 转置矩阵
A_T = A.T
print(A_T)

3. 特征值与特征向量：eig 和 eigvals

求特征值和特征向量

from scipy.linalg import eig

A = np.array([[4, -2], [1,  1]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)
print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:", eigenvectors)

仅求特征值

from scipy.linalg import eigvals

# 仅计算特征值
eigenvalues = eigvals(A)
print("特征值:", eigenvalues)

4. 奇异值分解（SVD）：svd

奇异值分解（SVD）用于矩阵的分解，广泛应用于数据降维、推荐系统、图像压缩等领域。

from scipy.linalg import svd

A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])

# 计算 SVD
U, s, Vh = svd(A)

print("U:", U)
print("s:", s)
print("Vh:", Vh)
  • U：左奇异向量
  • s：奇异值
  • Vh：右奇异向量（转置）

5. 解线性方程组

SciPy 提供了求解线性方程组的方法，支持矩阵的 LU 分解、QR 分解等。

使用 solve 求解方程组

from scipy.linalg import solve

A = np.array([[3, 2], [1, 2]])
b = np.array([5, 5])

# 求解 Ax = b
x = solve(A, b)
print("解向量 x:", x)

使用 lu 求解方程组

from scipy.linalg import lu, solve

A = np.array([[3, 2], [1, 2]])
b = np.array([5, 5])

# LU 分解
P, L, U = lu(A)

# 使用 L 和 U 解方程
y = solve(L, np.dot(P.T, b))
x = solve(U, y)
print("解向量 x:", x)

6. 计算行列式与矩阵范数

计算行列式

from scipy.linalg import det

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算行列式
determinant = det(A)
print("行列式:", determinant)

计算矩阵范数

from scipy.linalg import norm

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算矩阵范数
matrix_norm = norm(A)
print("矩阵范数:", matrix_norm)

7. 示例：奇异值分解与图像压缩

SVD 在图像压缩中的应用非常广泛。通过选择奇异值的前几个最大值，可以有效地减少存储空间，同时保留图像的主要特征。

示例：图像压缩

import imageio
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.linalg import svd

# 读取图像
img = imageio.imread('example_image.png', pilmode='L')

# 使用奇异值分解进行压缩
U, s, Vh = svd(img)

# 保留前 k 个奇异值
k = 50
S_k = np.diag(s[:k])

# 近似重构压缩后的图像
img_compressed = np.dot(U[:, :k], np.dot(S_k, Vh[:k, :]))

# 显示原图与压缩图
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title("原始图像")

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.imshow(img_compressed, cmap='gray')
plt.title(f"压缩图像 (k={k})")

plt.show()

🔗 出站链接与参考资料

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