📌 目录

  1. 模块简介
  2. 数值积分（quad）
  3. 定积分与不定积分
  4. 常微分方程求解（odeint）
  5. 积分近似与矩形法、辛普森法
  6. 示例：物理问题中的微分方程求解
  7. 出站链接与参考资料

1. 模块简介

scipy.integrate 模块提供了数值积分和微分方程求解的功能，常用于物理、工程和生物学等领域的数学建模。

主要功能包括：

  • 数值积分：单变量与多变量积分
  • 常微分方程（ODE）求解：求解初值问题和边值问题
  • 积分近似方法：矩形法、辛普森法、Gauss 求积法等

2. 数值积分（quad）

quad 函数用于进行单变量函数的定积分计算，支持无限区间。

from scipy.integrate import quad
import numpy as np

# 被积函数
def integrand(x):
    return np.exp(-x**2)

# 计算定积分
result, error = quad(integrand, 0, np.inf)
print(f"定积分结果：{result}, 误差估计：{error}")

该方法默认计算的是区间 [a, b] 内的定积分，可以通过返回的误差估计来判断结果的准确性。

3. 定积分与不定积分

定积分

result, error = quad(lambda x: np.sin(x), 0, np.pi)
print(f"定积分结果：{result}")

不定积分

使用 scipy.integrate 中的 odeint 进行常微分方程求解时，不定积分会在求解过程中自动使用。

4. 常微分方程求解（odeint）

常微分方程（ODE）的求解是 scipy.integrate 中的一项重要功能，odeint 可以用来求解初值问题。

示例：简单的常微分方程

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义微分方程
def model(y, t):
    dydt = -2 * y
    return dydt

# 初始条件与时间范围
y0 = 1
t = np.linspace(0, 5, 100)

# 求解微分方程
sol = odeint(model, y0, t)

# 可视化解
plt.plot(t, sol)
plt.title("ODE 解：y'(t) = -2y")
plt.xlabel('时间 t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.show()

微分方程的通用形式：

def model(y, t, params):
    dydt = params[0] * y
    return dydt

可以通过给 odeint 传递额外的参数，灵活地求解多类微分方程。

5. 积分近似与矩形法、辛普森法

SciPy 提供了不同的积分近似方法，以应对各种实际问题。

矩形法：

def rectangle_method(f, a, b, n):
    x = np.linspace(a, b, n)
    dx = (b - a) / n
    return np.sum(f(x) * dx)

result = rectangle_method(lambda x: np.exp(-x**2), 0, np.inf, 1000)
print(f"矩形法计算结果：{result}")

辛普森法：

from scipy.integrate import simpson

x = np.linspace(0, np.pi, 100)
y = np.sin(x)

result = simpson(y, x)
print(f"辛普森法计算结果：{result}")

辛普森法比矩形法在计算效率和精度上都更优。

6. 示例：物理问题中的微分方程求解

示例：受迫摆的微分方程

def pendulum(y, t, b, c):
    theta, omega = y
    dydt = [omega, -b*omega - c*np.sin(theta)]
    return dydt

y0 = [np.pi/4, 0]  # 初始条件
t = np.linspace(0, 10, 100)
b = 0.25  # 阻尼系数
c = 5.0  # 振幅

sol = odeint(pendulum, y0, t, args=(b, c))

# 可视化角度与角速度
plt.plot(t, sol[:, 0], label="角度 θ(t)")
plt.plot(t, sol[:, 1], label="角速度 ω(t)")
plt.legend(loc="best")
plt.title("受迫摆的动态解")
plt.xlabel('时间 t')
plt.ylabel('解 y(t)')
plt.show()

此例模拟了一个受迫摆的动态行为，利用微分方程描述其角度和角速度随时间的变化。

🔗 出站链接与参考资料

📘 官方文档

📚 实用教程与资源